Взаимосвязь между инвариантными подпространствами линейного преобразования и сопряженного к нему

Пусть $\mathcal{A}$ — оператор пространства $V$, а $U$ — $\mathcal{A}$-инвариантное подпространство. Тогда ортогональное дополнение $U^{\perp}$ является ${} \mathcal{A}^{*}$-инвариантным подпространством.

Для любого $u \in U^{\perp}$ покажем, что ${} \mathcal{A}^{*}u \in U^{\perp}$. Пусть $x \in U$. Тогда $$ (x, \mathcal{A}^{*}u) = (\mathcal{A} x, u) = 0 $$ А значит $\forall{x \in U, u \in U^{\perp}}\mathpunct{:}~~ \mathcal{A}^{*}u \perp x$. Следовательно, $\mathcal{A}^{*}u \in U^{\perp}$. $\square$